Abstract This article deals with the problem of translating statistical information given in other registers into the tabular register, from the following two objectives: 1) to study the performance of prospective teachers in translating information given in the other registers into the tabular register; and 2) to compare the performance of future teachers in the different translations. The study included 30 students, future teachers of the first school years, who were attending the 1st or 2nd year of the Degree in Basic Education, at a Higher Education School in the north of Portugal. The data of the present study were obtained through the answers given by the students to four questions, which required the translation of statistical information given in the graphic, numeric-verbal and simple data list register into the tabular register. In terms of results, it is noteworthy that students were more successful in building the simple frequency tables than in building the two two-way tables and the data table grouped into class intervals, the latter being the one that proved to be the most difficult. These results, related to the translation of different registers into the tabular register, are the main contribution of the study and imply that the prospective teachers must deepen their skills of tabular representation.

Resumo Neste artigo, trata-se a problemática da tradução para o registo tabelar de informação estatística dada em outros registos, a partir dos dois objetivos seguintes: 1) estudar o desempenho de futuros professores na tradução para o registo tabelar da informação dada nos outros registos; e 2) comparar o desempenho dos futuros professores nas diferentes traduções. Participaram no estudo 30 estudantes, futuros professores dos primeiros anos escolares, que se encontravam a frequentar o 1.º ou 2.º ano do curso de Licenciatura em Educação Básica, de uma Escola Superior de Educação situada no norte de Portugal. Os dados do presente estudo foram obtidos através das respostas dadas pelos estudantes a quatro questões, nas quais se requeria a tradução para o registo tabelar de informação estatística dada no registo gráfico, numérico-verbal e lista de dados simples. Em termos de resultados, salienta-se que os estudantes tiveram maior sucesso na construção da tabela de frequências simples do que na construção das duas tabelas de dupla entrada e da tabela de dados agrupados em intervalos de classe, tendo sido esta última a que se revelou mais difícil. Estes resultados, relativos à tradução de diferentes registos para o registo tabelar, são a principal contribuição do estudo e implicam que os futuros professores devem aprofundar as suas competências de representação tabelar.

Resumo Neste trabalho estuda-se a compreensão de estudantes, futuros professores dos primeiros anos escolares, sobre dados que devem ser acrescentados a uma série dada para se obterem certos valores das medidas de tendência central. Para tal foi realizado um estudo quantitativo, de tipo descritivo, em que participaram 34 estudantes do 2.° ano do curso de Licenciatura em Educação Básica de uma universidade do Norte de Portugal, tendo os dados sido obtidos num contexto de avaliação formal realizada no âmbito da unidade curricular de Probabilidades e Estatística. Aqui, neste trabalho, iremos explorar apenas uma tarefa, exatamente aquela em que se questionavam os estudantes acerca dos dados a acrescentar a uma série dada de modo a se obterem valores especificados para as medidas de tendência central. Em termos dos principais resultados obtidos, salienta-se um desempenho bastante satisfatório dos estudantes em termos de respostas corretas. Contudo, essas respostas corretas, relativas aos valores a acrescentar, muitas vezes, não resultaram de uma explicação racional e compreensiva sobre a sua origem. Assim, a partir do presente estudo, destaca-se a necessidade destes estudantes, futuros professores dos primeiros anos escolares, verbalizarem e explicarem as suas ideias, aspectos que serão da maior relevância no seu futuro ofício docente. Por outro lado, de entre as medidas de tendência central (moda, mediana e média), constatou-se que os estudantes sentiram maiores dificuldades quando estava implicado um valor da média, o que pode dever-se à sua determinação única.

Abstract In this work, we study the understanding of students, prospective primary school teachers, about data that must be added to a given series to obtain certain values of the central tendency measures. To this end, a quantitative, descriptive study was carried out, in which 34 students from the 2nd year of the Basic Education Degree course at a university in the North of Portugal participated, and the data was obtained in a context of formal evaluation carried out in the scope of the Probability and Statistics course unit. Here, in this work, we will explore only one task, exactly the one in which students were asked about the data to be added to a given series to obtain specified values for the central tendency measures. In terms of the main results obtained, we highlighted a very satisfactory performance of students in terms of correct answers. However, these correct answers, regarding the values to be added, often did not result from a rational and comprehensive explanation of their origin. Hence, the present study highlights the need for these students, prospective primary school teachers, to verbalize and explain their ideas, aspects that will be of the greatest relevance in their future teaching profession. On the other hand, among the central tendency measures (mode, median, and mean), it was found that students experienced greater difficulties when a mean value was involved, which may be due to their unique determination.

Resumen En este estudio analizamos la construcción y lectura e interpretación de las tablas de frecuencia utilizadas por los estudiantes, futuros maestros, en la realización de trabajos de proyecto de naturaleza investigativa. En el estudio participaron 56 alumnos del segundo año del grado de Educación Básica, de una universidad del norte de Portugal, que se organizaron en pequeños grupos para desarrollar los trabajos de proyecto. Los datos empleados en el análisis, relativos a las tablas de frecuencias y su lectura e interpretación, se obtuvieron de los informes preparados por los estudiantes. En términos de los resultados, vale la pena destacar la determinación de tipos de frecuencias inapropiadas, a saber, las acumuladas de valores de variables cualitativas nominales, y al leer e interpretar la información en las tablas, de los tres niveles de Curcio, los estudiantes presentaron respuestas, casi siempre, en los primeros dos niveles, leer los datos y leer dentro de los datos, y casi nunca en el tercer nivel, leer más allá de los datos.

Resumo Neste estudo analisa-se a construção e a leitura e interpretação de tabelas de frequências usadas por estudantes, futuros professores dos primeiros anos, na realização de trabalhos de projeto de natureza investigativa. No estudo participaram 56 estudantes do 2.º ano da Licenciatura em Educação Básica, de uma universidade do Norte de Portugal, que se organizaram em pequenos grupos para desenvolverem os trabalhos de projeto. Os dados usados no estudo, relativos às tabelas de frequências e à sua leitura e interpretação, foram obtidos dos relatórios dos trabalhos de projeto que os estudantes elaboraram. Em termos dos resultados do estudo, salienta-se a determinação de tipos de frequências não adequados, concretamente a determinação de frequências acumuladas de valores de variáveis qualitativas nominais, e na leitura e interpretação da informação das tabelas, dos três níveis de Curcio, os estudantes apresentaram respostas, quase sempre, nos dois primeiros níveis, ler os dados e ler entre os dados, e quase nunca no terceiro nível, ler para além dos dados.

Abstract This study analyzes the creation, as well as the reading and interpretation of frequency tables used by student teachers to conduct research project work. Participants in this study included 56 2nd-year students from the Basic Education Program of a university in northern Portugal who were part of small groups to conduct project work. Data used in the study regarding frequency tables and how to read and interpret them was obtained from the project work reports prepared by the students. Results highlight the determination of incorrect frequency types, namely determining accumulated frequencies of values of nominal qualitative variables, and how, when reading and interpreting the information in the tables regarding Curcio’s three levels, students almost always offered answers for the first two levels, reading the data and reading within the data, and rarely for the third level, reading beyond the data.

Resumo O humor tem uma aceitação crescente, por se lhe reconhecer contributos positivos para o bem-estar das pessoas, em contextos como a saúde e as empresas. O que acontece na Educação, em particular, no ensino da Matemática? Na procura desta resposta, desenhamos este estudo, de natureza quantitativa, com uma amostra de 1088 professores de Matemática (portugueses e espanhóis). Com recurso a inquérito, averigua se professores que ensinam Matemática, ao longo dos diversos níveis de ensino, apreciam o humor, que perspectiva têm dele e do seu valor educativo e se o utilizam no ensino. O estudo averigua, ainda, se o nível de ensino em que lecionam tem influência na perceção e uso do humor com fins instrucionais. O estudo procura verificar se há diferenças significativas entre os professores portugueses e espanhóis em relação a estes aspectos. Os resultados revelam que a maioria dos professores, de todos os níveis de ensino, reconhecem o significado de humor, consideram que têm sentido de humor, justificam o seu uso no ensino da Matemática e já o viram utilizar ou utilizam nas aulas, com o objetivo de criar bom ambiente de aprendizagem e de fazer pensar os alunos. O estudo revela diferenças entre os professores dos diversos níveis de ensino, indicando que existe maior predisposição dos professores dos Anos Iniciais, comparativamente com os demais, para valorizar e utilizar o humor no ensino. O estudo revela também diferenças entre professores portugueses e espanhóis, sendo os portugueses a apresentarem uma média de concordância superior na generalidade dos itens.

Abstract At present, humour has an increasing acceptance and appreciation, because we recognize the positive contributions to the well-being of people in contexts as diverse as health, business, and entertainment. What happens in Education and, in particular, in Mathematics teaching? To answer this question, we designed this quantitative study with a sample of 1088 Iberian mathematics teachers (Portuguese and Spanish), that teach from the early years through to higher education. Through the use of a questionnaire, we seek to find out if Portuguese and Spanish teachers who teach Mathematics, throughout the various levels of education, appreciate humor, what perspective they have of it and its educational value, and if they use it in teaching the discipline. The study also sought to determine if the teaching level in which teachers teach mathematics has an influence on the perception and use of humor for instructional purposes. The study also investigates if there are any significant differences between Portuguese and Spanish teachers in relation to these aspects. The results show that the overwhelming majority of teachers, at all levels of teaching, recognize the meaning of humor, consider that they have a sense of humor, justify its use in mathematics teaching and have already seen it being used or used it in their classes, with the goal of creating a good learning environment and making students think. The study reveals differences among teachers at different levels of teaching, indicating that there is a greater predisposition of teachers in the initial years, in comparison to other years, to value and use humor in mathematics teaching. The study also reveals differences between Portuguese and Spanish teachers, with Portuguese presenting a higher average agreement in most items.

El objetivo de este trabajo es analizar el conocimiento estadístico de una muestra de futuros profesores de educación primaria cuando resuelven una tarea sobre la distribución bidimensional, en relación a su representación gráfica, a la correlación lineal y a la regresión lineal. En el estudio participaron 50 estudiantes, que se encontraban en el 2.º año de la Licenciatura en Educación Básica en una universidad del norte de Portugal. Los datos recogidos se obtienen de las respuestas de los estudiantes a varias cuestiones referidas a la probabilidad y la estadística en un ambiente formal de evaluación. En este trabajo tratamos solo las tareas referidas a la distribución bidimensional. En términos de resultados, los estudiantes obtuvieron mayor éxito en la representación gráfica de la distribución, mientras que en la evaluación del signo y de la intensidad de la correlación lineal cerca de la mitad o más de los estudiantes respondieron correctamente a la tarea. Finalmente, tuvieron muchas dificultades en cuanto a la regresión lineal, en torno a la estimación de un valor en una de las variables conocido el valor de la otra.

O objetivo deste trabalho é analisar o conhecimento estatístico de uma amostra de futuros professores dos primeiros anos escolares quando resolvem uma tarefa envolvendo uma distribuição bidimensional, em relação à sua representação gráfica, à correlação linear e à regressão linear. No estudo participaram 50 estudantes que se encontravam a frequentar o 2.º ano da Licenciatura em Educação Básica numa universidade do norte de Portugal. Os dados recolhidos dos estudantes foram obtidos através da aplicação de várias questões de probabilidades e estatística em ambiente formal de avaliação, das quais iremos aqui tratar apenas aquela que diz respeito à distribuição bidimensional. Finalmente, em termos de resultados, verificou-se que os estudantes foram mais sucedidos na representação gráfica da distribuição. Na avaliação do sinal e da intensidade da correlação linear, cerca de metade ou mais estudantes responderam corretamente. Finalmente, tiveram muitas dificuldades na regressão linear, aquando da determinação da estimativa do valor de uma das variáveis conhecido o valor da outra.

The aim of this paper is to analyse the statistics knowledge of a sample of prospective primary school teachers when they solve a task involving a two-dimensional distribution, in relation to the graphic representation, to the linear correlation and to the linear regression. The study involved 50 students, who were attending the 2nd year of the Bachelor in Basic Education at a university in the north of Portugal. The data were collected from the students answers through the application of several probability and statistics questions in a formal evaluation environment, of which we will deal here only with that concerning the two-dimensional distribution. Finally, in terms of results, the students were more successful in the graphic representation of the distribution. About half or more students were evaluated correctly in the signal and the intensity of the linear correlation. Finally, the students had many difficulties in the linear regression, when determining the estimation of the value for a variable known the value of the other.

Resumo Este estudo debruça-se sobre as dificuldades de alunos portugueses do 9.° ano de escolaridade na construção e interpretação de diagramas de extremos e quartis (DEQ). O estudo tem por base as respostas dadas por 93 alunos do 9.° ano a duas questões sobre DEQ num teste de diagnóstico escrito. Examinando as configurações dos objetos e processos matemáticos que intervêm nas resoluções dos alunos, identificaram-se discrepâncias entre os significados pessoais atingidos pelos alunos e os significados institucionais pretendidos na construção e interpretação de DEQ, constatando-se que: (i) na construção de DEQ observam-se confusões na forma de apresentar um DEQ ao incorporar o seu suporte numérico no próprio diagrama, detectando-se dificuldades na precisão a tomar para a escala do suporte quando o domínio de variação dos dados é maior; e (ii) na interpretação de DEQ são manifestas dificuldades em analisar a forma distribucional dos dados através de um DEQ, observando-se a tendência para o aluno responder com base na perceção intuitiva da simetria e dispersão da distribuição, sem recorrer a medidas estatísticas adequadas na sua argumentação. Observou-se, ainda, que a construção do DEQ é mais fácil do que a sua interpretação. Estes resultados corroboram a ideia de que a análise de dados agregados, usando DEQ, não é uma tarefa fácil de compreender por parte de alunos deste nível de escolaridade, sugerindo-se uma maior articulação entre atividades de construção de DEQ e atividades de interpretação.

Abstract This study deals with the difficulties of 9th grade Portuguese students in the building and interpreting of boxplots (DEQ). The study is based on the responses given by 93 9th grade students to 2 questions on the DEQ in a written diagnostic test. By examining the configurations of the objects and mathematical processes that intervene in the students' resolutions, we have identified discrepancies between the personal meanings reached by the students and the institutional meanings intended in the construction and interpretation of the DEQ, noting that: (i) in the construction of the DEQ we observed confusions in the form of presenting a DEQ by incorporating its numeric support in the diagram itself, and difficulties in the accuracy to be considered for the support scale of the support when the data's variation domain is greater; and (ii) in the interpretation of DEQ, there are clear difficulties in analyzing the distributional form of the data through a DEQ, observing the tendency for the student to respond based on the intuitive perception of the symmetry and dispersion of the distribution, without resorting to statistical measures in their justifications. We also observed that the construction of the DEQ is easier than its interpretation. These results corroborate the idea that the analysis of aggregate data, using DEQ, is not an easy task to understand by students of this level of education, so we suggest a greater articulation between DEQ construction activities and interpretation activities.

RESUMO Recentemente, tem-se visto o aprofundamento do ensino de probabilidades e estatística no ensino básico, e importa investigar se o conhecimento dos futuros professores é adequado para ensinar esses temas. Participaram do estudo 53 estudantes do 2.º ano do curso de Licenciatura em Educação Básica de uma universidade de Portugal, tendo-lhes sido pedido para resolverem várias questões de probabilidades, sendo aqui estudada apenas aquela que se refere à dimensão didática do conhecimento do futuro professor, quando estabelecem tarefas de probabilidades adequadas para alunos dos primeiros anos. Em termos de resultados obtidos, verificou-se que a maioria dos futuros professores apresentou tarefas nada adequadas ao nível cognitivo dos alunos a quem se destinavam, sendo, em geral, demasiado difíceis e sem fazerem referência à incerteza. As tarefas são muito semelhantes às aprendizagens que os próprios futuros professores realizaram no âmbito do tema de probabilidades.

ABSTRACT Recently we have witnessed the deepening of the teaching of Probability and Statistics in basic education, where it is important to investigate if the knowledge of prospective teachers is adequate to teach these subjects. 53 students, who were attending the 2nd year of the Bachelor's Degree in Basic Education at a university in Portugal, were asked to solve various questions on probability. We study only the one that refers to the didactic dimension of the prospective teacher's knowledge, when they establish tasks of probability suitable for students of the primary education. In the results obtained, it was found that the majority of participants presented inappropriate tasks to the cognitive level of the students for whom they were intended, and they were generally too difficult and without reference to uncertainty. The tasks were very similar to the learning that the prospective teachers themselves have done under the topic of probability in their previous training.

RESUMEN En la actualidad asistimos a una profundización de la Estadística y la Probabilidad en la enseñanza básica, donde interesa investigar si el conocimiento de los futuros profesores es adecuado para enseñar estos temas. Participaron en el estudio 53 estudiantes de 2.º año de la Licenciatura en Educación Básica de una universidad de Portugal, a los que se pidió que resolvieran varias cuestiones sobre probabilidad. En este trabajo analizamos solo la cuestión que se refiere a la dimensión didáctica del conocimiento del futuro profesor, cuando establecen tareas de probabilidad adecuadas a alumnos de los primeros años de enseñanza básica. En cuanto a los resultados obtenidos, la mayoría de futuros profesores presentaron tareas nada adecuadas al nivel cognitivo de los alumnos a los que estaban destinados, siendo, en general, demasiado difíciles y sin referencia a la incertidumbre. Las tareas son muy semejantes a los aprendizajes que los propios futuros profesores recibieron en el tema de probabilidad.

Resumo: Neste estudo, cujo objetivo é averiguar a influência do contexto dos dados na determinação da mediana, estudam-se as resoluções de 332 alunos portugueses do 8.º ano, a duas questões, uma com os dados organizados numa tabela de frequências e outra num gráfico de barras. Seguindo uma metodologia mista, quantitativa e qualitativa, realiza-se uma análise de frequências de quatro categorias ordinais de respostas (corretas, parcialmente corretas, incorretas e não respostas) e uma análise semiótica das resoluções aplicando o Enfoque Ontossemiótico do conhecimento e ensino da Matemática na identificação de objetos e processos matemáticos que intervêm nas resoluções. Em geral, os alunos revelaram maior propensão para não responderem à determinação da mediana em contexto gráfico, mas os que responderam tendem a determinar a mediana com menor dificuldade. Os conflitos semióticos identificados aparentam não estar dependentes da forma de apresentação dos dados, embora ocorra maior número de respostas não corretas no contexto tabelar do que no contexto gráfico.

Abstract: This study analyzes the responses given by 332 8th grade Portuguese students to two questions, one with data set defined by a frequency table and the other defined by a bar graph. The goal is the evaluation of the effect of the data representation on the calculation of the median. Using a combined methodology, a frequency analysis of students' response types and a semiotic analysis of responses, based on onto-semiotic approach of knowledge and mathematics education, were applied. The semiotic analysis' main goal was the identification of objects and mathematical processes, which can characterize semiotic conflicts implied from the student responses. Generally, students revealed greater tendency to not respond to the graphic determination of the median, however, those who do answer, tend to obtain the median with less difficulty in a graphic context. Semiotic conflicts seem not to depend on the presentation of the data set, although there are more answers that are incorrect in the tabular context than in the graphic context.

Resumo Neste artigo estuda-se o conhecimento de Probabilidades de futuros professores dos primeiros anos escolares, quando na formulação dos acontecimentos estão envolvidos aspetos lógicos. Participaram no estudo 46 alunos da Licenciatura em Educação Básica, de uma Universidade do Norte de Portugal, os quais resolveram uma tarefa, com três itens, em contexto de avaliação formal: o primeiro sobre a probabilidade da reunião (conetivo ou), o segundo sobre a probabilidade conjunta (conetivo e) e o terceiro sobre a probabilidade condicionada, em que o acontecimento condicionado é, por sua vez, uma probabilidade conjunta (conetivo e). Em termos dos principais resultados do estudo, verificou-se que os alunos revelaram um desempenho muito limitado, trocando, frequentemente, os conetivos e e ou, a disjunção inclusiva com a disjunção exclusiva e na disjunção consideraram como sendo incompatíveis acontecimentos não disjuntos.

Abstract In this article, we study the Probability's knowledge of prospective primary school teachers, when there are logical aspects involved in the formulation of events. Forty-six students participated in the study, from a University in Northern Portugal, who had to resolve a three-item task in the context of a formal evaluation: the first one, on the union probability (connective or), the second one, on the joint probability (connective and), and the third one, on the conditional probability, in which the conditioned event is, in turn, a joint probability (connective and). In terms of the main results of the study, it was found that the students showed a very limited performance, frequently changing the connectives and and or, the inclusive disjunction with the exclusive disjunction and in the disjunction considered as incompatible non-disjoint events.

Resumo A prova é uma atividade que desempenha um papel fundamental na construção do conhecimento matemático, razão pela qual adquire relevância nos programas escolares de Matemática. Admitindo que as conceções dos professores sobre a prova afetam a forma como ela é tratada em sala de aula, procuramos averiguar as conceções de professores portugueses de Matemática do 3.° ciclo do Ensino Básico (do 7.° ao 9.° ano) sobre diferentes aspetos da prova matemática e a influência que a experiência profissional tem nessas conceções. Adotando uma abordagem metodológica mista, recolhemos os dados através de um questionário, respondido por 72 professores, e de uma entrevista a duas professoras com experiências profissionais diferentes. Os resultados revelam que os professores, sobretudo os que têm menos tempo de docência, consideram que a prova matemática tem uma natureza distinta da de outras disciplinas, é uma atividade essencial para a construção do conhecimento matemático, tem como função verificar e explicar a veracidade de uma afirmação e permite desenvolver o raciocínio e a comunicação matemática. No que respeita à participação dos alunos na atividade de provar, são os professores com mais tempo de docência que mais o destacam, o que permite aos alunos perceberem a natureza desta atividade. Em termos curriculares, são os professores com menos experiência docente que mais concordam com a presença da prova logo nos primeiros anos, embora salientem que esta atividade só faz sentido em alguns tópicos programáticos.

Abstract Proof is an activity that plays a key role in the construction of mathematical knowledge, which is why it acquires relevance in mathematics programs. Admitting that teachers' conceptions about proof influence how it is handled in the classroom, we tried to investigate the conceptions of Portuguese mathematics teachers from the 3rd cycle of basic education (grade 7 to 9) on different aspects of mathematical proof and the relationship that the teachers' experience has in these conceptions. Adopting a mixed methodological approach, we collected data through a questionnaire answered by 72 teachers, and an interview with two teachers with different professional experience. The results show that teachers, especially those with less experience, consider that mathematical proof has a distinct nature from other disciplines, it is an essential activity for the construction of mathematical knowledge and its function is to verify and explain the truth of a statement by developing reasoning and mathematical communication. With respect to student participation in the activity of proving, teachers with more teaching experience are the ones that most highlight it, which allows students to realize the nature of this activity. In curriculum terms, teachers with less experience are the ones that most agree with the presence of proof in early grades, while emphasizing that this activity only makes sense in some program topics.